Несобственный интеграл онлайн калькулятор скачать

Решение задач по математике онлайн.

В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением. Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается. Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы. Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> --> Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Для данной задачи возможно получить подробное решение. Узнайте как это сделать.

В решении ошибка Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку. Немного теории. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции). В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a.

Понятие определенного интеграла. Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]: 1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей; 2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_ )\Delta x_ $$ 3) вычисляем $$ \lim_ S_n $$ В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так: \( \int\limits_a^b f(x) dx \) Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним). Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом: \( S = \int\limits_a^b f(x) dx \) здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так: \( S = \int\limits_a^b v(t) dt \) Формула Ньютона — Лейбница. Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной? Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле \( S = \int\limits_a^b v(t) dt \) С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) - s(a). В итоге получаем: \( S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \) где s(t) — первообразная для v(t). В курсе математического анализа доказана следующая теорема.

Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула \( S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \) где F(x) — первообразная для f(x). Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно. На практике вместо записи F(b) - F(a) используют запись \( \left. F(x)\right|_a^b \) (ее называют иногда двойной подстановкой ) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде: \( S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \) Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку. Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: \( \int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \) Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: \( \int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \) Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство \( g(x) \leq f(x) \).

Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом: \( S = S_ = S_ - S_ = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \) \( = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \) Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство \( g(x) \leq f(x) \), вычисляется по формуле \( S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)